第二册不等式证明

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1． 求证：x² + 3 > 3x

    证：∵(x² + 3) - 3x =

        ∴x² + 3 > 3x

2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

   证：

∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 ,  b - a > 0

∴     即：

         变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？

3． 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

   证：(a⁵ + b⁵ ) - (a²b³ + a³b²) =( a⁵ - a³b²) + (b⁵ - a²b³ )

=a³ (a² - b² ) - b³ (a² - b²) =(a² - b² ) (a³ - b³)

=(a + b)(a - b)²(a² + ab + b²)

∵a, b都是正数，∴a + b, a² + ab + b² > 0

又∵a ¹ b，∴(a - b)² > 0   ∴(a + b)(a - b)²(a² + ab + b²) > 0

即：a⁵ + b⁵ > a²b³