数的概念的发展

教学目标

（1）了解数的概念发展的过程和动力；
（2）了解引进虚数单位i的必要性和作用；理解i的性质．
（3）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（4）了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想．

教学建议

1．教材分析

（1）知识结构

首先简明扼要地对已经学过的数集因生产与科学发展的需要而逐步扩充的过程作了概括；然后说明，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，使得某些代数方程在新的数集中能够有解。从而引出虚数单位i及其性质，接着，将数的范围扩充到复数，并指出复数后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
①从实际生产需要推进数的发展

自然数 整数 有理数 无理数

②从解方程的需要推进数的发展

负数 分数 无理数 虚数

（2）重点、难点分析

（一）认识的动力

从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面。

①解决实际问题的需要

由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。

②解方程的需要。

为了使方程 有解，就引进了负数；为了使方程 有解，就要引进分数；为了使方程 有解，就要引进无理数。

引进无理数后，我们已经能使方程 永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当 时，方程 在实数范围内无解。为了使方程 （ ）有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。

（二）注意数的概念在扩大时要遵循的原则

第一，要能解决实际问题中或数学内部的矛盾。现在要解决的就是在实数集中，方程 无解这一矛盾。

第二，要尽量地保留原有数集（现在是实数集）的性质，特别是它的运算性质。

（三）正确确认识数集之间的关系

①有理数就是